Средние величины: арифметическая гармоническая Мода Медиана

8.3. Средние величины в статистике

Средние

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет  обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.


Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.


Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

  • Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.


ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

  • средняя арифметическая;                     
  • средняя гармоническая;
  • средняя геометрическая;                       
  • средняя квадратическая.

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.



  • Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется  когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.


  • Средняя арифметическая (взвешенная) варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.


ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН


  • Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):
Статистика Формула Средняя арифметическая простая
(8.8 -формула средней арифметической простой)

  • где хi – вариант, а n – количество единиц  совокупности.

  • Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников  офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Пример формула 8.9Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы  по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.

  • Средняя арифметическая взвешенная  формула 8.9.
Статистика Формула Средняя арифметическая взвешенная
(8.9 -формула средней арифметической взвешенной)

  • где хi – вариант, а fi  – частота или статистический вес.

  • Пример вычисления  средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса

Желаемый размер заработной платы, тыс.руб

хi

Количество работников fi хifi
1 2 3

50

100

200

350

500

6

10

20

9

5

300

1000

4000

3150

2500

Итого 50 10950

Пример. Вычислим (ориентируясь на итоговые строки таблицы) желаемый размер заработной платы, 50 сотрудников офиса (используем формулу 8.9):

Пример к формуле 8.9
Пример вычисления средней арифметической взвешенной

Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы  по результатам опроса 50 человек составил 219 тысяч рублей.


Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.



  • Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.

  • Средняя гармоническая  простая представлена ниже:
Статистика Формула средней гармонической простой
(8.10 – формула средней гармонической простой)

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

Статистика Формула средней гармонической взвешенной
(8.11- формула средней гармонической взвешенной)

где xi – вариант, n – количество вариантов, Vi – веса для обратных значений xi.



Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером.


  • Пример (вычисление средней гармонической простой (невзвешенной)).

Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин.

  • Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. если используем среднюю арифметическую простую получим: (5+15):2=10, мин.

  • Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа (60 минут) работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов.

Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: (60/10) + (60/10) = 12 заказов (что не соответствует истине).


  • Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов, т.е. используем среднюю гармоническую:
Статистика Пример средней гармонической невзвешенной
Пример вычисления средней гармонической простой (невзвешенной)

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: (60/7,5) + (60/7,5) = 16 заказов

  • Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).


    Пример (вычисление средней гармонической взвешенной) В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.

    Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже (цифры условные)

    Номер сделки Сумма продажи V, млн руб. Курс рубля x, руб. за 1 дол. V/x
    1 2 3 4

    1

    2

    3

    4

    5

    455,00

    327,50

    528,00

    266,00

    332,50

    65,00

    65,50

    66,00

    66,50

    66,50

    7,00

    5,00

    8,00

    4,00

    5,00

    итого 1909,00 29,00

    Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

    Пример средней гармонической взвешенной


  • Вывод: средний курс за один доллар составил 65,83 руб.;

  • Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая простая:пример расчета по ср арифм то,  за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5  млн.руб., что не соответствует действительности.


    Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.



  • Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле 8.12
Формула 8.12
(8.12)


  • Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной
  • Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле 8.13
Статистика Формула Средняя геометрическая взвешенная
(8.13)

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

Средняя квадратическая простая (формула 8.14)

Статистика Формула Средняя квадратическая простая
8.14

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

Средняя квадратическая взвешенная (формула 8.15)

Статистика Формула Средняя квадратическая взвешенная
(8.15) – Формула -средняя квадратическая взвешенная

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней правило мажорантности средних А.Я. Боярского, т.е.

Статистика Правило мажорантности средних А.Я. Боярского



Мода и Медиана (структурные средние) формулы и примеры вычисления см.  по ссылке


Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector