Содержание курса лекций «Статистика»
Показатели вариации в статистике 
Показатели вариации в анализе взаимосвязей. Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака относительно средней исчисляют основные показатели вариации.
Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для полного анализа изучаемого процесса или явления. Иногда совершенно непохожие по своему внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние величины. Поэтому для более детального изучения того или иного явления необходимо учитывать разброс или вариацию значений отдельных единиц совокупности. Измерение вариации признаков имеет как теоретическое, так и практическое значение.
Так, например, для выявления наиболее стабильно работающего коллектива или предприятия наравне с другими показателями рассчитывают и основные показатели вариации. Эти показатели дают возможность количественно определить размеры устойчивости производительности труда, уровня квалификации, цен на основные виды выпускаемой продукции и т.п. Измерение размеров вариации такого показателя, как «выполнение работ в срок» имеет важное значение для принятия решений заказчиками и инвесторами, т.к. ситуация, в которой присутствует изменчивость признака, часто содержит риск. Особое значение показатели вариации приобретают в анализе рынка ценных бумаг, где мера колеблемости отождествляется с мерой рискованности вложения денежных средств.
Основными показателями, характеризующими вариацию, являются:
- размах вариации;
- среднее линейное отклонение;
- дисперсия;
- среднее квадратическое отклонение;
- коэффициент вариации.
Размах вариации в статистике, формула
1) Размах вариации
Среднее линейное отклонение, формула
2) Среднее линейное отклонение исчисляют для того, чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений:
где –
абсолютные значения отклонений отдельных вариантов xi от средней арифметической ; fi – частота.
Дисперсия в статистике, формула
3. Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:
Среднее квадратическое отклонение, формула
4. Среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии:
!!!В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (руб., тыс., млн и т.д.).!!!
Коэффициент вариации, формула
5. Коэффициент вариации – используется для сравнительной оценки вариации, а также для характеристики однородности совокупности:
Пример. Для иллюстрации расчетов показателей вариации
воспользуемся данными нижеприведенной табл. 9.1:
Таблица 9.1 ‑ Данные о продаже основных марок холодильников
| Модель холодильника | Цена ( $ )
xi |
Объем продаж (шт.)
|
xifi | |
| 1 | Siemens | 1000 | 30 | 30000 |
| 2 | Bosch | 800 | 26 | 20800 |
| 3 | AEG Santo | 900 | 24 | 21600 |
| 4 | Miele KF | 1200 | 30 | 36000 |
| 5 | Gorenje | 870 | 20 | 17400 |
| 6 | Haier | 570 | 23 | 13110 |
| 7 | Samsung | 760 | 30 | 22800 |
| 8 | Zanussi | 700 | 20 | 14000 |
| 9 | Daewoo | 460 | 20 | 9200 |
| 10 | Beko | 650 | 25 | 16250 |
| 11 | Candy | 480 | 20 | 9600 |
| 10 | Whirpool | 470 | 21 | 9870 |
| ИТОГО | 8860 | 289 | 220630 |
Пример вычисления размаха вариации
Рассчитаем размах вариации,на основании данных приведенных вышеприведенной таблице 9.1.
R= 1200-460=740$
Пример вычисления размаха вариации
Размах вариации служит незаменимой мерой разброса экстремальных значений признака. Кроме характеристики границ разброса признака, размах вариации может быть использован для выявления ошибок. При наличии очень больших (или очень малых) ошибочно записанных значений признака размах вариации сразу резко возрастает, что требует проверки и корректировки исходных данных.
Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирующего признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Вследствие этого размах вариации может неправильно характеризовать общую колеблемость признака.
Этого недостатка лишен другой показатель – дисперсия, рассчитываемый как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.
Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью признака существует прямая зависимость: чем сильнее колеблемость признака, тем больше отклонения его значений от средней величины и менее устойчив изучаемый показатель.
Как и средняя величина этот показатель может быть рассчитан в двух формах: взвешенной и невзвешенной
Пример вычисления средней арифметической взвешенной для показателей вариации
По приведенным выше данным определим средневзвешенную цену холодильника:
Пример вычисления дисперсии
Далее рассчитаем дисперсию:
!!!Следует отметить, что дисперсия еще не дает представления об однородности совокупности, и этому показателю трудно дать экономическую интерпретацию, т.к. он рассчитан в квадратных единицах. Поэтому следующим шагом в исследовании однородности совокупности является расчет среднего квадратического отклонения, показывающего, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность что и изучаемый признак.!!!
Пример вычисления среднего квадратического отклонения
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение
Вывод: Таким образом, цена каждой марки холодильника отклоняется от средней цены в среднем на 271,1 $
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации признака. Однако для сравнения разных совокупностей с точки зрения устойчивости какого-либо одного признака или для определения однородности совокупности рассчитывают относительные показатели.
Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего эти показатели выражаются в процентах.
Пример вычисления показателя вариации
Определим значение показателя вариации по вышеприведенным данным таблицы
Совокупность считается однородной, если V не превышает 33%.
Если V<10% вариация признака слабая;
10% < V<25% – вариация средняя;
V>25% – вариация сильная.
Вывод: Рассчитанная величина свидетельствует о неоднородности цен на холодильники, т.к. однородной совокупность считается, если коэффициент вариации меньше 33% (для распределений близких к нормальному).
!! Следует отметить, что коэффициент вариации может быть более 100%, что, в частности, может быть при наличии значений сильно отличающихся от средней величины. Такой результат означает, что в исследуемой совокупности сильна вариация признаков по отношению к средней величине.
Изучая вариацию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в расчетах, трудно оценить степень воздействия на него какого-либо отдельного признака.
При проведении такого анализа исходная совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным (оказывающим влияние на взаимосвязанный с ним признак) и результативным (подверженным влиянию).
Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится по факторному признаку на группы. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то для оценки влияния различных факторов, определяющих вариацию индивидуальных значений признака, используют правило сложения дисперсий.
Общая дисперсия
Общая дисперсия представляет собой сумму средней из виутригрупповой и межгрупповой и дисперсий:
где:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака по всей совокупности как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности.
Средняя из внуттригрупповых дисперсий
где:
Межгрупповая дисперсия
характеризует вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки.
где:
Внутригрупповая дисперсия
Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка. Другими словами внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию. Внутригрупповая дисперсия рассчитывается отдельно по каждой j-ой группе.
где:
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Для всех групп в целом вычисляется средняя из внутригрупповых дисперсий, взвешенных на частоты соответствующих групп по формуле:
Правило сложения дисперсий
Взаимосвязь между тремя видами дисперсий получила название правила сложения дисперсий. Таким образом, зная два вида дисперсий всегда можно определить третий:
Из этого равенства следует, что общая дисперсия, как правило, будет больше средней из групповых дисперсий. Это обусловлено тем, что при расчленении общей совокупности единиц на части по какому-либо признаку образуются более или менее однородные группы, в результате чего сокращается колеблемость признаков в пределах каждой группы. Это приводит к тому, что средняя из групповых дисперсий оказывается меньше дисперсии признака по всей совокупности единиц, причем разница между этими показателями будет тем больше, чем однороднее получаются группы в результате расчленения общей совокупности.
Теснота связи между факторным и результативным признаками, формула, пример вычисления
оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:
Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.
Пример. На следующем условном примере исследуем зависимость объема выполненных работ от формы собственности проектно-изыскательских организаций.
Таблица 9.2. Выполнение работ проектно-изыскательскими организациями разной формы собственности
| Форма собственности | Количество предприятий |
Объем выполненных работ (млн. руб.) |
Итого |
| Государственная | 4 | 10,30,20,40 | 100 |
| Негосударственная | 6 | 20, 40, 60, 20, 50, 50 | 240 |
| Итого | 10 | 340 |
Решение:
1) Определим средний объем работ для предприятий двух форм собственности.
2) Определим средний объем работ для каждой формы собственности.
3) Рассчитаем общую и внутригрупповые (т.е. для каждой группы) дисперсии.
4) Определим среднюю из внутригрупповых и межгрупповую дисперсию. Для этого полученные ранее данные заносятся в таблицу расчета.
Таблица 9.3. – Вспомогательная таблица
|
Форма собственности |
Число предприятий |
Средняя
по группе |
Внутригрупповые дисперсии |
| Государственная | 4 | 25 | 125 |
| Негосударственная | 6 | 40 | 233 |
| Итого | 10 |
Средняя из внутригрупповых дисперсий, пример вычисления
Межгрупповая дисперсия, пример выяисления
На последнем этапе решения задачи необходимо проверить тождество, отражающее закон сложения дисперсий:
Проверка закона сложения дисперсий: 54,0+189,8=243,8
Вывод: Таким образом, можно сделать вывод о том, что объем работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% [(54,0/243,8) х 100%] зависит от фактора, положенного в основание группировки, т.е. от формы собственности, а на 78% [(189,8/243,8)х100%)] ‑ от прочих факторов.
Вывод о том, что объем выполненных работ в гораздо большей степени зависит от каких-либо других факторов, чем от формы собственности предприятий подтверждается и величиной эмпирического корреляционного отношения:
Вывод: Величина этого показателя свидетельствует о том, что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика
Содержание курса лекций «Статистика»
Контрольные задания
- Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными:
| Возраст студентов, лет | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | Всего |
| Число студентов | 20 | 80 | 90 | 110 | 130 | 170 | 90 | 60 | 750 |
Вычислить: а) размах вариации; б)среднее линейное отклонение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; относительные показатели вариации возраста студентов.
2. По данным статистических ежегодников постройте таблицу с рядом показателей и определите показатели вариации: а) размах; б) среднее линейное отклонение; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности.
Содержание курса лекций «Статистика»
Загрузка...
