Содержание курса лекций «Статистика»
Причинность, регрессия, корреляция
Исследование объективно существующих связей между социально-экономическими явлениями и процессами является важнейшей задачей теории статистики. В процессе статистического исследования зависимостей вскрываются причинно-следственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие основное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения ‑ это такая связь явлений и процессов, когда изменение одного из них ‑ причины ведет к изменению другого ‑ следствия.
Финансово-экономические процессы представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих процессов необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных.
В основе первого этапа статистического изучения связи лежит качественный анализ, связанный с анализом природы социального или экономического явления методами экономической теории, социологии, конкретной экономики.
Второй этап – построение модели связи, базируется на методах статистики: группировках, средних величинах, и так далее.
Третий, последний этап ‑ интерпретация результатов, вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления. Статистика разработала множество методов изучения связей. Выбор метода изучения связи зависит от познавательной цели и задач исследования.
Признаки по их сущности и значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса.
Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называются факторными, или просто факторами.
Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными.
В статистике различают функциональную и стохастическую зависимости.
Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака.
Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем, при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.
Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению.
Таблица 11.1. ‑ Количественные критерии оценки тесноты связи
|
Величина показателя связи |
Характер связи |
|
До ±0,3 |
практически отсутствует |
|
±0.3 – ±0,5 |
слабая |
|
±0,5 – ±0,7 |
умеренная |
| ±0,7 -±1,0 |
сильная |
По направлению выделяют связь прямую и обратную.
Прямая ‑ это связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного признака.
Пример. Так, рост объемов производства способствует увеличению прибыли предприятия.
В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака, то есть обратная ‑ это связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений одного признака происходит уменьшение или увеличение значений другого признака.
Пример. Так, снижение себестоимости единицы производимой продукции влечет за собой рост рентабельности.
По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные.
Если статистическая связь между явлениями может быть приблизительно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью вида:
Если же связь может быть выражена уравнением какой-либо кривой, то такую связь называют нелинейной или криволинейной, например:
Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных; графический; аналитических группировок; корреляции, регрессии.
Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере.
Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат ‑ результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначаются точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи.
В статистике принято различать следующие виды зависимостей:
- Парная корреляция ‑ связь между двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными).
- Частная корреляция ‑ зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.
- Множественная корреляция ‑ зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.
Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты и направления связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, которые, давая количественную характеристику тесноты связи между признаками, позволяют определять «полезность» факторных признаков при построении уравнения множественной регрессии. Знаки при коэффициентах корреляции характеризуют направление связи между признаками.
Регрессия тесно связана с корреляцией и позволяет исследовать аналитическое выражение взаимосвязи между признаками.
Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком), обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторных признаков).
Одной из проблем построения уравнений регрессии является их размерность, то есть определение числа факторных признаков, включаемых в модель. Их число должно быть оптимальным. Сокращение размерности за счет исключения второстепенных, несущественных факторов позволяет получить модель, быстрее и качественнее реализуемую. В то же время, построение модели малой размерности может привести к тому, что она будет недостаточно полно описывать исследуемое явление или процесс.
При построении моделей регрессии должны соблюдаться требования:
- Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями.
- Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей.
- Все факторные признаки должны иметь количественное (числовое) выражение.
- Наличие достаточно большого объема исследуемой совокупности (в последующих примерах в целях упрощения изложения материала это условие нарушено, т.е. объем очень мал).
- Причинно-следственные связи между явлениями и процессами должны описываться линейной или приводимой к линейной форме зависимостью.
- Отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи.
- Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности.
Соблюдение данных требований позволяет построить модель, наилучшим образом описывающую реальные социально-экономические явления и процессы.
Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов позволяет получить аналитическое выражение связи между двумя признаками: результативным и факторным.
Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи ‑ гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.
Оценка параметров уравнений регрессии ( и — в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели , при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:
Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
где п ‑ объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).
В уравнениях регрессии параметр ао показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков. Коэффициент регрессии а1 показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения. xi – теоретические значения результативного признака; yi – наблюдаемые значения факторного признака.
Пример. Имеются данные по 10 однотипным предприятиям о выпуске продукции (х) в тыс.ед. и о расходе условного топлива (у) в тоннах (графы 1 и 2 табл. 17).
Требуется найти уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции (или уравнение регрессии у по х) и измерить тесноту зависимости между ними. Для этого представим данные в табл. 11.2 (вместе с расчетными столбцами).
Таблица 11.2 – Расчет показателей для нахождения уравнения регрессии
| № п/п | Выпуск продукции, xi,тыс.ед. | Расход топлива, yi, тонн |
|
|
|
 |
| 1 | 5 | 4 | 25 | 20 | 16 | 3,9 |
| 2 | 6 | 4 | 36 | 24 | 16 | 4,4 |
| 3 | 8 | 6 | 64 | 48 | 36 | 5,5 |
| 4 | 8 | 5 | 64 | 40 | 25 | 5,5 |
| 5 | 10 | 7 | 100 | 70 | 49 | 6,6 |
| 6 | 10 | 8 | 100 | 80 | 64 | 6,6 |
| 7 | 14 | 8 | 196 | 112 | 64 | 8,8 |
| 8 | 20 | 10 | 400 | 200 | 100 | 12,1 |
| 9 | 20 | 12 | 400 | 240 | 144 | 12,1 |
| 10 | 24 | 16 | 576 | 384 | 256 | 14,3 |
| ∑* | 125 | 80 | 1961 | 1218 | 770 | 80 |
Необходимые для решения суммы рассчитаны выше в таблице. Подставим их в уравнение и решим систему.
Из системы уравнений получим a1 = 0,547; а0 = 1,16.
Получив искомое уравнение регрессии можно утверждать, что с увеличение выпуска продукции на тыс. ед., расход топлива возрастет в среднем на 0,547 тонны.
*Если параметры уравнения найдены верно, то
Измерение тесноты (силы) и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака и одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных зависимостей) факторных признаков.
Линейный коэффициент корреляции (К. Пирсона) характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.
В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента.
Для измерения тесноты зависимости между у и х применяют линейный коэффициент корреляции, который может быть рассчитан по любой из нижеприведенных формул:
Таблица 11.3 – Оценка линейного коэффициента корреляции
| Значение линейного коэффициента связи | Характеристика связи | Интерпретация связи |
| г = 0 | отсутствует | – |
| 0<г<1 | прямая | с увеличением х увеличивается у |
| -1<г<0 | обратная | с увеличением х уменьшается у и наоборот |
| г=1 | функциональная | каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака |
Пример вычисления коэффициента корреляции
Найдем коэффициент корреляции по данным табл. 11.2., используя формулы (11.6‑11.8):
Линейный коэффициент корреляции может принимать по модулю значения от 0 до 1 (знак + при прямой зависимости и знак – при обратной зависимости).
Найденный коэффициент корреляции 
означает, что характер связи между исследуемыми признаками прямой.
По степени тесноты связи между признаками (одним из критериев оценки служит коэффициент корреляции) различают связи:
Следовательно, 0,7≤0,96≤ 1 , значит, связь в данном примере сильная (с увеличением выпуска продукции увеличивается расход топлива).
Немного истории
Термин “корреляция” впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье, который вывел “закон корреляции частей и органов животных” (этот закон позволяет восстанавливать по найденным частям тела облик всего животного). В статистику указанный термин ввел в 1886 году английский биолог и статистик Френсис Гальтон (не просто связь – relation, а “как бы связь” – co-relation). Однако точную формулу для подсчёта коэффициента корреляции разработал его ученик – математик и биолог – Карл Пирсон (1857 – 1936).
Корреляционным называется исследование, проводимое для подтверждения или опровержения гипотезы о статистической связи между несколькими (двумя и более) переменными. В психологии переменными могут выступать психические свойства, процессы, состояния и др.
Содержание курса лекций «Статистика»
Контрольные задания.
По данным статистических сборников постройте таблицу: по 10 однотипным предприятиям с данными о численности персонала, выпуске продукции, расходах; данных о прожиточном минимуме и средней заработной плате и т.п.; найдите уравнение зависимости (или уравнение регрессии) и измерьте тесноту связи между показателями.
Загрузка...
